reconstruct 演算子について #2

前回の投稿 の続きとして，reconstruct 演算子をもう少し詳しく見ていきます．前回の投稿で掲載した reconstruct 演算子の定義式は，数式では次式\eqref{eq:reconstruct}のように表現できます．

$$ reconstruct(ssf) = \left(\sum_{f}^{}{\left({\bf n}_f \otimes {\bf S}_f\right)} \right)^{-1}\left(\sum_{f}^{} {\bf n}_f ssf\right) \tag{1} \label{eq:reconstruct} $$

ここで，\({\bf n}_f\) は，フェイスの単位法線ベクトルを，\({\bf S}_f\left(=|{\bf S}_f|{\bf n}_f\right)\) は，フェイスの面積を大きさとし，向きが \({\bf n}_f\) と等しい法線ベクトルをそれぞれ表します．また，surfaceSum 演算子は，各セルにおいてそのセルのフェイスの値の総和を計算します（fvcSurfaceIntegrate.C）．

事前準備

\eqref{eq:reconstruct}式中で使用されている２つのベクトル \(\bf a\) と \(\bf b\) の二項積\(\otimes\) (dyadic product) は次式\eqref{eq:dyad}のように計算されます．

$$ {\bf a} \otimes {\bf b} = \left(
\begin{array}{ccc}
a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\
a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\
a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3
\end{array}
\right) \tag{2} \label{eq:dyad} $$

この二項積とベクトル \(\bf c\) との積を計算すると，次式\eqref{eq:D}のように変形できます．

\begin{align} \left({\bf a} \otimes {\bf b}\right) {\bf c} &= \left(
\begin{array}{ccc}
a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\
a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\
a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{array}
\right) \\
& = {\bf a}\left({\bf b} \cdot {\bf c}\right) \tag{3} \label{eq:D}
\end{align}

準備は以上です．

本題

では本題です．関係式\eqref{eq:D}を使用して，reconstruct 演算子を調べていきます．ここで，\eqref{eq:reconstruct}式中の以下の行列の部分を

$$ D \equiv \sum_{f}^{}{\left({\bf n}_f \otimes {\bf S}_f\right)} \tag{4} \label{eq:Dop} $$

として，密度 \(\rho\) の勾配 \(\nabla \rho\) にこれを作用させてみます．

\begin{align}
D \nabla \rho &= \sum_{f}^{} {\left({\bf n}_f\left({\bf S}_f \cdot \nabla \rho \right)\right)} \tag{5a}\\
&= \sum_{f}^{} {\left({\bf n}_f\left(|{\bf S}_f|{\bf n}_f \cdot \nabla \rho \right)\right)} \tag{5b}\\
&\approx \sum_{f}^{} {\left({\bf n}_f\left(|{\bf S}_f|{\bf n}_f \cdot \left(\nabla \rho\right)_f \right)\right)} \tag{5c}\\
& = \sum_{f}^{} {\left({\bf n}_f\left(|{\bf S}_f|snGrad\left(\rho\right)_f \right)\right)} \tag{5d} \label{eq:conversion}
\end{align}

ここで，１つ目の変形で関係式\eqref{eq:D}を使用しています．そして，３つ目の変形に近似が含まれています．これを\eqref{eq:reconstruct}式に合わせて書き直すと，次式が得られます．
$$ \nabla \rho \approx D^{-1}\left(\sum_{f}^{} {\left({\bf n}_f|{\bf S}_f|snGrad\left(\rho\right)_f \right)}\right) \tag{6} \label{eq:final} $$

参考資料

[1] CFD Online Forums: fvc::reconstruct( ) algorithm